เนื้อหา
ความเข้าใจที่ทันสมัยของเราเกี่ยวกับ cardinality มาจากผลงานของ Georg Cantor ในทศวรรษที่ 1890 เซตสามารถมีพระคาร์ดินัลสามประเภท: จำกัด นับได้และนับไม่ได้ เซต จำกัด อาจมีหมายเลขเฉพาะที่กำหนดเช่น cardinality: จำนวนรายการในชุด ทั้งชุดที่นับได้และนับไม่ถ้วนนั้นไม่มีที่สิ้นสุด คันทอร์เป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกที่ชี้ให้เห็นว่าคุณลักษณะของเซตอนันต์คือมันสามารถใส่ลงไปในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งด้วยชุดย่อยของตัวเอง
คำสั่ง
-
ให้หมายเลขเฉพาะสำหรับชุดของความสำคัญถ้ามันมี จำกัด สำหรับเซตเหล่านี้ความสำคัญเชิงจำนวนคือจำนวนของวัตถุที่อยู่ภายใน สำหรับอินฟินิตี้มันเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดจำนวนที่เฉพาะเจาะจงสำหรับ cardinality - เราสามารถใช้เพียงหนึ่งคำอธิบาย เซตย่อยของชุดนั้นเป็นชุดที่ประกอบด้วยบางส่วน แต่ไม่ใช่ทั้งหมดของชุดหมายเลข แต่ไม่มีชุดใดที่ไม่ได้อยู่ในชุดนั้น ตัวอย่างเช่นชุดย่อยของตัวอักษรในตัวอักษรโปรตุเกสเป็นตัวอักษรในคำว่า "Banana" สำหรับเซต จำกัด เซตย่อยที่เหมาะสมนั้นเล็กกว่าเซต ซึ่งไม่เป็นความจริงสำหรับเซตอนันต์
-
เริ่มต้นด้วยองค์ประกอบเฉพาะของชุดและเก็บไว้ตลอดไปในวิธีเฉพาะเพื่อระบุองค์ประกอบทั้งหมดของชุด นี่คือคำจำกัดความของการบัญชีสำหรับชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด คุณสมบัติที่สำคัญคือมีอัลกอริทึมในการแสดงองค์ประกอบทั้งหมดชั่วนิรันดร์ ชุดอนันต์ที่นับได้ตามแบบฉบับคือจำนวนเต็ม เริ่มต้นด้วย "หนึ่ง" และดำเนินการต่อด้วยหมายเลขลำดับถัดไป คุณไม่สามารถให้หมายเลข cardinality คุณจะบอกว่ามันเป็นนิรันดร์ โปรดทราบว่าสำหรับแต่ละจำนวนเต็มจะมีเลขคู่ที่สอดคล้องกันซึ่งจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่า มีจำนวนเต็มมากเท่าที่มีตัวเลขเป็นคู่ มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุดและชุดย่อยที่เหมาะสมของชุดนั้น
-
เปรียบเทียบชุดกับตัวเลขระหว่างศูนย์และหนึ่งเพื่อดูว่ามันไม่มีที่สิ้นสุดนับไม่ถ้วน คุณไม่สามารถเริ่มนับได้เนื่องจากไม่มีหมายเลข "ถัดไป" หลังจากตัวเลขระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง คันทอร์ยกตัวอย่างเพื่อช่วยในการทำความเข้าใจกับฉากที่นับไม่ถ้วน: จุดและเส้น คะแนนไม่ยาวหรือกว้างแม้ว่าเส้นจะประกอบไปด้วยแต้ม หากเส้นเหล่านั้นไม่มีจุดสิ้นสุดความยาวของเส้นจะเป็น 0 + 0 + 0 และต่อไปเรื่อย ๆ เส้นต้องมีจำนวนจุดที่นับไม่ได้
เคล็ดลับ
- การทดสอบคันทอร์คือการดูว่าทั้งสองเซตมีความสำคัญเชิงเดียวกันหรือไม่หากองค์ประกอบของเซตนั้นสามารถจับคู่กันได้ทีละชุด
การเตือน
- เลขคณิตจะใช้ได้กับเซต จำกัด เท่านั้น ถ้า N เป็นทั้งอินฟินิตี้ที่นับได้และนับไม่ถ้วน N + 1 = 200N = N + N = N